2015年12月22日 星期二

圖解:微分、積分




前言:
今天早上慾望戰勝理性,還是喝了杯派克市場純正黑咖啡。美味的代價是我腰痛會發作。既然都喝了,腦力大爆發,只好找本有深度的書來讀。就這本吧。微積分,大學必修的惡夢學科。

隨記:
P.14 求瞬間的變化量=微分→就某個點上的變化量,像,水在92°的這點位上的密度,或物品自由落體3秒後的速度是多少。所以牛頓之所以發明微分就是他真的有需要微分這個計算工具。
P.14 求總和=積分。
P.19 用B對A做積分=C,水平的長度(B)對垂直的長度(A)做積分=湖泊的面積(C)。

P.29 [ ∫ ] 積分符號→表示要進行積分,例:∫x2 dx
P.29 [ ' ]微分符號→表示要進行微分,例:f'(x)
P.38 「微分=求瞬間(一點)的變化量」和「積分=求用微小變化量累計而成的總和」,其實就像加法與減法,互為反向操作;也就是說,當你做完積分後再微分,就會回到原來的式子。
 P.42 常見的統計學中也有運用微分。例如,股票價格的變化用圖表呈現會比起直接閱讀數字更清楚易懂。→作者要表達的並沒想像中的神奇,他就是指完整的圖表中的一根K棒,那根K棒就是圖表作時間點的微分,取的是概念,但不可能真的預測。這跟原本微分的概念是有落差的,微分可精準知道該時間點的真正點位,但股市的波動根本沒有慣性。如果有人能對人類的恐懼與貪婪作微積分,或許可以計算出股市走勢圖吧。但目前無法量化,至少我想得到做不出來那模型。
P.50 函數取英文單字function的第一個字母ƒ。對y來說,若想表遠和x的關係,可寫成y=ƒ(x)。服務窗口以函數ƒ表示,則可以寫成〈醫療科目〉=ƒ〈症狀〉對吧?!如同ƒ(x)一般,括弧寫入x的話,就將這個用x表示的函數稱為「x的函數」→ƒ(x)只簡易表示,y=ƒ(x)展開後可能變成y=x2-4x+1,ƒ(x)=x2-4x+1,那x=1時,ƒ(1)=2=y。數學證明人類是很懶的,科技終來自人性,人性就是用最懶(省力)的方式來達成目標。
P.53 單項式:y=2x→x只有一次方
P.53 多項式:y=x2-4x+1→x有多次方→呃,如果不是想學好微積分,我才不想記這些名詞,我還蠻討厭記這類的死名詞。
P.60 二次函數→看到這圖雞皮疙瘩都起來了,數學真是種美的表現。


P.61 一次函數與二次函數的交點

P.62 把反曲點當成點對稱中心的三次函數→我懷疑是先發現公式才知道慢慢畫出圖形來瞭解反曲點現象。如果從圖形來看,實在太美妙了,感覺變的無從下手推導公式。
P.62以原點為中心,將圖形180度旋轉後畫上相同的曲線,這個點對稱的圖形就是三次方程式的樣子。而曲線的彎曲向開始改變的點對稱為反曲點。→這感覺就像三次元在二次元的呈現,如果在三次元(立體)來看應該是很美的直線吧。如果這樣推論四次方程式,可能就是我們一直想解開維度的起點,只要理解四次方式式,或許就能推理出四次元的世界。
P.68 ∞(無窮大)是用來表達無限大的符號,limx→∞ 是指求x到∞的極限。也就是在x到達∞之前,十分靠近y的值的極值是0。特別需要注意,所謂的limx→∞ 和將x直接換成∞不太一樣,雖然∞可以視為一般數字運算,但此時指的並非一個固定常數,它是一個非常大的數,而x非常靠近∞無窮大。→原本看這段文,看半天也不瞭解,但一看到下圖,我立馬懂了。我決定給本書高的評價,一張好的圖勝過千言萬語呀。

P.68 極限的概念中,重點是無限延伸。
P.79 微分的基本規則:→體現了很難懂的東西,數學反而很簡單。
   1.(xn)'=nxn-1  (n:整數)
   2.(a)'=0         (a:常數,例:1,2,3,4,5)
   例如:
      y=x5+2x4+3x3+4x2+5x+6
   微分後
      y'=5x4+8x3+9x2+8x+5+0


[2015年12月30日 提醒]
以下內容進入不好理解區塊,筆記上已呈現混亂狀態。不建議讀者向下品讀,除了我自己。待我讀過其他三本微積分後,我才能知道自己是否正確的部分。


P.80 圖形的斜率用(縱÷橫)表示→y方向的差值/x方向的差值。
P.90 使用極限表現函數ƒ(x)的斜率稱為微分系數。→這邊說了很多,其實關鍵就是斜率,單項式(x+a)微分後就是常數(a),所以斜率就是0。二項式(bx2+a)微分後就是2bx,原本的曲線變成一個切點。這有什麼用呢?微分的用處就是在取某一點的資料,或最大或最小的轉折點。有這概念就好,反正微分計算只是過程,過程不重要。微分就是偷懶的計算方法而已。
P.115 運用微分的地方:1.距離、速度、加速度的關係。2.二次函數的頂點。3.二次函數的最大值與最小值。→這條應該最重要吧,微分就只是個工具,只要知道那時可用就行了。
P.126 ∫是無限時以求總和的意思。
P.133 F(x)微分後,導函數成為ƒ(x)。,代數用到後來就不知所云了。只是想記錄,有這個習慣,F(x)微分後常用ƒ(x)作表示。
P.133 ∫ƒ(x)DX=F(x)+C、(F(x))'=ƒ(x)→F(x)、ƒ(x)。也就是F(x)的導函數=ƒ(x)、ƒ(x)的原始函數=F(x)。→是在記錄專有名詞,導函數與原始函數的差別。後面解說會看不懂。
P.134 積分後所產生的常數→微分會把常數(a)變成0,但當還原時,常數會跑出來,但不知是多少。只能設定是個常數(C)。

P.134 將函數積分後,求出含有積分常數C的函數,稱為不定積分。→該死的名詞又多一個要記。不定是三小。
P.138 定積分→這部分覺得表達沒觸到我的理解,只好自己嘗試用自己的話表達一次。下圖藍色方塊是定積分F(a),紅色是定積分F(b),兩個都存有一個未知數C(通稱常數),而很巧的是C在兩個公式中都是一樣的數值。所以只要紅色減藍色就能把C這個未知數給消掉,而積分的功用就是算出F(b)-F(a)這段變化中所累計的量。最難理解的就是不定積分跟定積分根本不是對立的東西,不定積分是總和只是不知常數是多少的F(x)函式,含有無限的概念。定積分在說F(b)-F(a),也就是說定積分指的是某區間內的總和。


P.142 積分區間出現負值y時,須分開計算。→呃,跑出個跟上面理解不同的東西出來了…。作者是說用絕對值取值,不然會跟y為正的積分相減而計算錯誤。

心得感想:
在前陣子看幾何書的時得知,幾何是音譯才出現的怪譯名(註一)。本意是土地測量的數學。而積分是為了算出碎形土地面積所演化出來的數學。碎形就是各種形狀半圓(例河道旁)、畸零(海岸線、田地)、三角形(金字塔)、多邊形(城廓)。到後來連體積運算都加入積分數字範籌。微分是從積分演化出來的數學。
數學難的地方是數學符號的理解,但如果沒有數學符號,就無法形成簡易公式。最簡單的+-x÷=,五個符號可是到18世紀才被統一,從那之後數學進入正式發展。
這本書可惜的是封面設計有問題,我第一眼會覺得一定是沒水準的作品。但品讀後會覺得,作者真的懂,更可貴的是能寫出一本讓人懂的書,這比上課教學更難。也不得不為譯者的翻譯能力喝采,好的作者配上好的譯者,上乘之作。為此我特地去挖日文版封面長什麼樣,一整個專業感覺就上來了。


註一:幾何的由來
前陣子讀《3小時讀通幾何科學》在P.10 有解說由來:「土地測量」在古希臘語中,叫做geo(土地)metry(測量),一般認為,geo的發音到中國變成幾何。



書籍資料:
書名:圖解:微分、積分
作者:深川和久
譯者:石大中
出版社:積木
出版日期:2012/06/10
閱讀價值:高,一張好圖勝過千言萬言。
目錄:
1-1:微分.積分一點都不難
為什麼會被誤解為很難呢?
1-2:用三分鐘具象化積分
用加法求算總量的終極方法
1-3:用三分鐘了解積分
對什麼用什麼做積分可以求得什麼樣的結果?
1-4:用三分鐘具象化微分
所謂微分是指捕捉一瞬間樣貌的終極方法
1-5:用三分鐘理解微積分的終極方法
對什麼用什麼做微分和可以求得什麼樣的結果?
1-6:微分.積分的歷史
為什麼積分變成是必要的?
1-7:微分.積分的歷史
發現微分和積分的大功臣-牛頓
1-8:微分.積分的歷史
發現微分和積分的大功臣-萊布尼茲
1-9:常見的微分
微分如同是回答最近的忙碌程度時
1-10:常見的微分
微分如同平坦的腳下是圓形的地球一般
1-11:常見的積分
積分就如同料理的火候大小
1-12:常見的積分
數位的組成和積分的思考方式相似
1-13:積分和微分的關係
將微分的結果做積分是不是又會回到最剛開始?
1-14:總結微分和積分可以辦到的事
微分和積分的特徵對照

微分可以用來預測股價嗎?

2-1數線的偉大發明
數字的大小可以一眼直接理解的方法
2-2各式各樣數字的分類法
可以用微分和積分處理的數
2-3數線上的直角座標
兩個變數之間的關係的表示方法
2-4函數和符號
數學的世界的便利工具們
2-5便利的函數
函數的使用方法和種類
2-6一次函數
以直線表示的一次函數
2-7二次函數
描繪出如同拋物線一般的數學式曲線
2-8二次函數
如果你知道什麼是頂點,那你就會知道二次函數
2-9一次函數和二次函數的交點
將函數作為方程式用來理解圖形
2-10三次函數的特徵
由對稱點的曲線描繪成的三次函數
2-11常數函數和其他的函數
各式各樣的函數們
2-12定義域和值域
考慮看看函數的可取得範圍
2-13所謂的極限的考慮方式
所謂的極限就是無限的靠近
2-14收斂和發散
到達極限後函數會變成怎麼樣
2-15阿基里斯和烏龜
關於無限不可思議的故事
練習:各式各樣的極限

能讓飛行中的箭瞬間停止?

3-1微分的計算
如果只是計算的話小學生也會!
3-2所謂的斜率
如何表現函數圖形的斜率?
3-3直線的斜率
一次函數的固定斜率
3-4曲線的斜率
會依據場合改變的斜率
3-5二次函數的斜率
斜率變化是用一個點上所連接的切線作為表示
3-6二次函數的斜率
如果使用極限去表示切線的斜率
3-7微分的特性
求取微分係數時
3-8微分的公式
從導函數和基本公式做連結
3-9微分的公式
一次函數和二次函數的微分性質
3-10微分的公式
n次函數的基本公式和其代表意義
3-11微分符號
想要依據不同的情況使用不同的符號們
3-12距離.速度.時間的彼此關係
去洗溫泉的話該用什麼樣的速度跑去比較好呢?
3-13距離.速度.時間的彼此關係
到達溫泉站的速度是高低起伏的
3-14距離.速度.時間的彼此關係
踩油門加速,踩剎車減速
3-15二次函數的微分
微分係數是很重要的提示
3-16二次函數的微分
從圖形來了解微分的意義

第9頁
3-17做一個很大的圍欄
以有限的材料進行微分
3-18乘法微分和除法函數的微分
有助於計算的便利技巧
3-19微分的總結
練習:各式各樣的微分

吃螃蟹吃到飽會感到很滿足嗎?

4-1積分的計算
將微分的結果做積分的計算
4-2所謂的積分
以具象及簡單的方法來思考積分
4-3積分符號
將英文字母S拉長的積分符號
4-4積分符號
將積分符號的意義以圖表示
4-5積分的公式
運用公式解開微分和積分的關係
4-6原始函數
微分後得到的f(x)的原始函數
4-7積分常數和不定積分
如何表示由積分產生的不確定因子
4-8不定積分
所產生的結果有什麼樣的助益?
4-9定積分
求取在一定範圍中的全部面積
4-10定積分
相當於求面積的方法去求算體積
4-11定積分
定積分的計算結果=非面積的情況
4-12定積分
把定積分用於求算面積
4-13函數的性質
簡單地求取面積的技巧
4-14區分求積法
回頭確認積分的厲害
4-15區分求積法
曲線所圍成的面積是最終加法的結果
4-16函數所圍成的面積
完全由曲線所圍成的面積也可以求得
4-17函數所圍成的面積
可以自由自在地求取函數圖形上分段區塊的面積
4-18求取體積
如果將面積重疊就可以得到體積
4-19積分的總結
推導出全體量的序列順序

練習
各式各樣的積分

櫻花何時會開花?

5-1三次函數
曲線的極值和反曲點
5-2三次函數
使用表格紀錄斜率的正負變化
5-3三次函數
將二次微分的結果記錄在表格上,使表格完成
5-4三次函數
各式各樣的三次函數
5-5以有限的材料進行微分
用微分求取極大值
5-6以有限的材料進行微分
用二次函數來表示有限大小的布塊
5-7以有限的材料進行微分
用三次函數來表達體積的最大值
5-8物理法則和微積分
使用微分來分析距離和速度
5-9物理法則和微積分
使用積分來推導物理的公式
5-10合成函數的微分
對其他函數各自微分的技巧
5-11三次函數的積分
三次函數和直線所圍成的面積
5-12圓的面積
將圓周作積分就會得到面積
5-13球的體積
對圓的截面積作積分
5-14球體的表面積
對球體的表面積作微分
5-15圓椎的體積
對底面積或平形的截面作積分
5-16旋轉體的體積
將二次函數的x軸作為旋轉中心所形成的體積
5-17旋轉體的體積
將二次函數的y軸作為旋轉中心所形成的體積
5-18旋轉體的體積
將年輪蛋糕切塊的思考方式
5-19旋轉體的體積
簡單的年輪蛋糕分割方式

沒有留言: