如何烤一個數學Pi

前言：
令人倒胃的中文書名(pi你老母)，內容倒是值得研讀，在解說範疇論，如何對事物作抽象，並且在一階抽象後，可再作(多次)抽象或反抽象(納入情境)。

隨記：
P.19 在數學領域中，我們使用的方法是邏輯，我們只想用純粹的邏輯推理，而不用實驗、物證、盲目的信念或希望，也不用民主或暴力。我們只用邏輯。→噗，看到民主讓人忍不住笑了出來。
P.28 我買了兩張郵票，一張36便士，總共花了多少錢?=>(抽象化)=>2x36=?
P.32 倒洗澡水時，小心別連同寶寶一同倒掉，切記不要過度簡化，不要簡化到最後所有有用的特性也一併刪除掉了。
P.34 抽象是一種簡化過程。
P.34「簡單」(simple)和「過度簡化」(simplistic)兩者間有著微妙差異；後者指的是沒有抓到重點，並忽略特定情況中複雜但關鍵的地方。
P.34 表面上，抽象化好像會帶你離真實越來越遠，其實卻能越來越靠近事物的本質。你必須扒開抽象概念上的外衣、剝皮去骨，才能更逼近事物的本質。
P.35 抽象化就是研究事物理想化的版本。→純粹才能檢視其因子特性。
P.51 meta-problem，你不是解決問題，而是要解決「讓別人來解決問題的問題」。教學就有點像是這樣，你不會直接告訴別人答案，而是讓他們去找答案。→最近遇上一個信徒、狂熱的信徒，我很努力的告訴他答案，而結果是失敗。如果要救人，不是給他答案。而是引導他自己找答案，除非他理解了，不然答案是沒意義。「知道」離「理解」還差的遠呢。
P.52 科學推論vs數學推論→科學推論是運用大量數據所形成的統計顯著性方式來證明，但這存在雜質問題。而數學推論就完全是邏輯推理，沒有樣本，純粹，但通常不具可驗性，根本沒實物。尤其錯誤很難被發現。
P.57 數學的抽象化帶領我們進入一個想像世界，只要不會產生矛盾，任何事情都有可能發生。→漫威宇宙就是一例
P.151 數學關鍵是只要你能想到任何不會造成邏輯矛盾的概念，那個概念就立刻成立。平方後為「-1」，這是不可能存在，如果定義成「i」，它就存在了。
P.164 你可能曾經和別人爭論過數學類型，但最後重點其實都歸結到定義。→定義很重要，吵架前先釐清定義。不然只會張飛戰岳飛，戰的滿天飛。
P.165 透過制定嚴謹的規則，來排除人類主觀的判斷。
P.189 數學的目的是要讓困難的東西變得簡單。
P.190 數學透過抽象化，拋掉會導致模糊不清的東西，然後忽略與問題本身無關的所有細節。反覆這個拋棄又忽略的過程。直到你排除掉所有不必要的細節，只剩下清楚明白的邏輯思考。
P.198 邏輯太過緩慢→需要用到思考，無法像直覺一般的快速反應。
P.199 邏輯太講究條理→需要把所有要件理清楚，不然無法思考和判斷
P.200 邏輯太沒彈性→看過鋼骨結構的大樓能感受這個限制
P.200 邏輯很弱→只要有一個定義、一個推論錯誤，結論就錯誤。
P.200 邏輯沒有起點→1+1=2這是基本定義，而不是起點。如果在位元0,1的世界中呢!?
P.214 數學是「更確切了解什麼事物簡單的過程，以及盡可能讓事物變得更簡單的過程。→應用數學解決生活複雜問題
P.214 範疇論(category theory)：確了解數學哪些部分簡單的過程，以及讓數學中更多部分變得簡單的過程。→純數解決應用數學複雜問題
P.236 範鑄論不僅僅研究物件和它們各自的特性，還強調彼此的關係(連動性)。→最近流行的葉黃素是從金盞花萃取而來，還要配合山桑子的花青素再加維生素C。這就是一例。這則廣告邏輯很強，但廣告就是騙術，所以要再更進一步反解找出關鍵。葉黃素、維生素C存在日常常吃的食物中不太需要額外補充，而主打葉黃素補充品是浪費錢。結果是花青素比較難補充，所以要到costco買冷凍藍莓來補充即完成視力問題。看來我抓到範鑄論的關鍵點了!!對抽象做反抽象。
P.252 代數、幾何、邏輯→數學三個面向，有人這麼分類。代敗指符號，幾何指圖形，邏輯指論證。
P.265 範疇論很重要的一個面向，就是檢視一個數學概念的哪個部分和結構有關。→在抽象化後，會分離出許多因子，如何找到與難題有關的因子就是範疇論在處理的地方。
P.266 是什麼把事物支撐起來?哪些部分移除後不會讓整個東西塌下來?→食物可用營養素從頭組成，也可用刪去法。這就看出來從無到有的建構是極為因難，其中還發現人是因適應環境而演化出來，根本不是依從最優決所決定身體結構。所以從零開始的建構必然會在邏輯最優決抵觸。那反過來從刪去法呢!!刪去吃了會腹痛的食物，一下就變得容易且明確。這事勾起回憶，小時候相信萬仗高樓平地起，底子打好再向上，結果計畫永遠趕不上變化。現在很習慣用試誤法，效果顯著，反正又不是要創造偉業，只需要可行就好，而且最特殊的是，還不能太專注某一項專業中。投機太認真鑽研反而適得其反，這真是個奇異的宇宙觀。例如每天都一直在研究新操作方法，一直優化策略，結果是失敗。說好的一分努力一分收獲，卻在投機世界無法運行順利，詭異呀!!反而是七天曬網一天補魚才能有好的收益效果，真是逆天呀。還是多看看電影吧，看看盡各種宇宙觀下的邏輯，從中發現各行各業都存在一個獨立的宇宙架構，跟學校或世俗相差甚遠。殺人可不可以?當然可以，不然法官拿錢不辦事才有問題。嗯...台灣法官問題真的很大，拿錢不辦事。
P.288 範疇論的一個目標是要弄清楚「就某種角度來看相同」而底是什麼意思，而且在不同情況中不同的意涵有其功用。在範鑄論中，我們會發現有時候我們說某些事物「相等」時，其實並非百分之百的實話。→媒體上公佈的統計數據皆為真，但只是沒說實話。因為全都在用「條件下」的統計報告，而該死的!!不會跟你說什麼條件下。例：台北市圖書館飲水機合格率，100%。但我喝了身體還是很難受。問題在隱藏條件：生菌數合乎喝不死人標準，而且水中其他物質皆未檢測。
P.289 有時候在範疇論中會反過來做：我們不會問特定情境中哪些「相同」，而是先去了解我們想要把哪些看成相同，然後再看哪些情境適用。
P.294 這個過程是否可逆?
P.298 組合順序不同，結果也會不同。

P.312 了解事物間彼此的關係後，就可以開始尋找不同類型的極端狀況：最大/最小，或最強/最弱?
P.314 一個範疇中的「始物件」和「終物件」，則是另一種比較不明顯但數學中很重要的極端。將所有範鑄中所有的關係都用箭題表示後，如果從某一個物件剛好畫出一個箭題並指向所有其他物件，這個物件就是始對象。所有其他物件剛好都有一個箭頭指向的物件就是終對象。

原始意思圖

簡化概念圖

P.318 一點也不牽強→常常在找不同物件中泛性質時，大腦很易容幫你製造合理的連結。這時就要警覺這種感覺，因為大多只是巧合。像最近看時間，常常出現44分的現象，這是警訊?危機?或好事將近?答案都太勉強，倒是台指是45分開始、45分切換、45分結束，生理時鐘對於45分將近時已產反應了。巧合(機率顯著)難以推論就在於，很難證明。但當你找到合理的推論，你會感到：對!!豁然開朗的感覺，不再牽強。(這例子不好，似乎刻意營造了誤導情境。)
P.322 獨立的存在(free-living)→最簡約狀態，只保留最低限度的基本特徵元素。

心得感想：
本書給我一個靈感，系統的建構是由法則來制定，而隨著操作的經驗累積，會增加更多的法則來控制系統的損益風險，最後變成一個極為窒礙難行的系統。這是所有系統開發後期的大問題。紀律最後成為巨牢，禁止一切行為。那這就出現了一個死結，所以要用更高一階的法則來處理，這麼多規則都源自於期望值，所以在絕對的紀律操作的進步是無規則，只有邏輯(期望值)。如果這條路正確，那我的操作可由紀律操作進一步跨進成邏輯操作，沒有死規則只有一個邏輯結構。結構很明確，但沒有細節。在結構之間存在許多空間，而此空間就是自由裁量的發揮。死線還是絕對的死線，但在死線之上地帶就成為自由發揮的空間。這想在這裡就發現一個叉路，紀律操作/邏輯操作的分叉點，前者比較容易，後者具有極大的潛力但相對而言又更加困難且未知。而我....天生喜歡選擇未知道路前進。
定義、公設等設定是邏輯的起始點。沒有基礎定義，邏輯無法推理，而定義也是困難之處。像黑洞沒人進去過，誰知道裡面的邏輯結構什麼。
情境：某狀態、某境境、某條件，在不同時空物質下的差異，這是對事物抽像後再還原的技巧。像濃縮果汁，只留下味道顏色。其他果皮、果肉、營養全部去除，只加入水，成為果汁飲料(情境)。
邏輯是很強大的能力，但也是最具毀滅的能力。因為邏輯是思考的判斷方式，根源於定義、公設…等基本法則。如果基本法則是錯誤的呢??所以上策是一再質疑自己的基本假設。用各種面向去檢視。下圖一個是納粹旗一個是反核旗，都具有一個共通特徵：擁有一個偉大的夢想。但最後都變成一種災難。群眾不具有邏輯能力，但具有放大效果，讓好更好、讓壞更壞。最後勢不可擋。現在群眾才發現用愛發不了電。

事後看自己的筆記一團混亂才發現，作者的邏輯能力比我高多了，能做到深入淺出的講解。當時讀的時候都覺得很簡單，但換成自己詮譯時才發現無法表達的那麼自然。

[2017年11月13日 壞習慣]
政治不是我該浪費精神的地方，群眾與政府要怎搞也不關我的事。電費漲受重傷的也不會是我，我犯蠢了。尤其這議題早想過多次，根本沒有再思索的價值。提醒自己別再浪費時間於這類的雜事上。



書籍資料：
書名：如何烤一個數學Pi：14道甜點食譜，引導你學會數學思考
原名：Cakes, Custard and Category Theory: Easy recipes for understanding complex maths
作者：鄭樂雋
原文作者：Eugenia Cheng
譯者：張芷盈
出版社：漫遊者文化
出版日期：2017/10/05
閱讀價值：中