2017年11月6日 星期一

如何烤一個數學Pi



前言:
令人倒胃的中文書名(pi你老母),內容倒是值得研讀,在解說範疇論,如何對事物作抽象,並且在一階抽象後,可再作(多次)抽象或反抽象(納入情境)

隨記:
P.19 在數學領域中,我們使用的方法是邏輯,我們只想用純粹的邏輯推理,而不用實驗、物證、盲目的信念或希望,也不用民主或暴力。我們只用邏輯。→噗,看到民主讓人忍不住笑了出來。
P.28 我買了兩張郵票,一張36便士,總共花了多少錢?=>(抽象化)=>2x36=?
P.32 倒洗澡水時,小心別連同寶寶一同倒掉,切記不要過度簡化,不要簡化到最後所有有用的特性也一併刪除掉了
P.34 抽象是一種簡化過程。
P.34「簡單」(simple)和「過度簡化」(simplistic)兩者間有著微妙差異;後者指的是沒有抓到重點,並忽略特定情況中複雜但關鍵的地方
P.34 表面上,抽象化好像會帶你離真實越來越遠,其實卻能越來越靠近事物的本質。你必須扒開抽象概念上的外衣、剝皮去骨,才能更逼近事物的本質。
P.35 抽象化就是研究事物理想化的版本。→純粹才能檢視其因子特性。
P.51 meta-problem,你不是解決問題,而是要解決「讓別人來解決問題的問題」。教學就有點像是這樣,你不會直接告訴別人答案,而是讓他們去找答案。→最近遇上一個信徒、狂熱的信徒,我很努力的告訴他答案,而結果是失敗。如果要救人,不是給他答案。而是引導他自己找答案,除非他理解了,不然答案是沒意義。「知道」離「理解」還差的遠呢。
P.52 科學推論vs數學推論→科學推論是運用大量數據所形成的統計顯著性方式來證明,但這存在雜質問題。而數學推論就完全是邏輯推理,沒有樣本,純粹,但通常不具可驗性,根本沒實物。尤其錯誤很難被發現。
P.57 數學的抽象化帶領我們進入一個想像世界,只要不會產生矛盾,任何事情都有可能發生。→漫威宇宙就是一例
P.151 數學關鍵是只要你能想到任何不會造成邏輯矛盾的概念,那個概念就立刻成立。平方後為「-1」,這是不可能存在,如果定義成「i」,它就存在了。
P.164 你可能曾經和別人爭論過數學類型,但最後重點其實都歸結到定義。→定義很重要,吵架前先釐清定義。不然只會張飛戰岳飛,戰的滿天飛。
P.165 透過制定嚴謹的規則,來排除人類主觀的判斷。
P.189 數學的目的是要讓困難的東西變得簡單
P.190 數學透過抽象化,拋掉會導致模糊不清的東西,然後忽略與問題本身無關的所有細節。反覆這個拋棄又忽略的過程。直到你排除掉所有不必要的細節,只剩下清楚明白的邏輯思考
P.198 邏輯太過緩慢→需要用到思考,無法像直覺一般的快速反應
P.199 邏輯太講究條理→需要把所有要件理清楚,不然無法思考和判斷
P.200 邏輯太沒彈性→看過鋼骨結構的大樓能感受這個限制
P.200 邏輯很弱→只要有一個定義、一個推論錯誤,結論就錯誤。
P.200 邏輯沒有起點→1+1=2這是基本定義,而不是起點。如果在位元0,1的世界中呢!?
P.214 數學是「更確切了解什麼事物簡單的過程,以及盡可能讓事物變得更簡單的過程。→應用數學解決生活複雜問題
P.214 範疇論(category theory):確了解數學哪些部分簡單的過程,以及讓數學中更多部分變得簡單的過程。→純數解決應用數學複雜問題
P.236 範鑄論不僅僅研究物件和它們各自的特性,還強調彼此的關係(連動性)。→最近流行的葉黃素是從金盞花萃取而來,還要配合山桑子的花青素再加維生素C。這就是一例。這則廣告邏輯很強,但廣告就是騙術,所以要再更進一步反解找出關鍵。葉黃素、維生素C存在日常常吃的食物中不太需要額外補充,而主打葉黃素補充品是浪費錢。結果是花青素比較難補充,所以要到costco買冷凍藍莓來補充即完成視力問題。看來我抓到範鑄論的關鍵點了!!對抽象做反抽象。
P.252 代數、幾何、邏輯→數學三個面向,有人這麼分類。代敗指符號,幾何指圖形,邏輯指論證。
P.265 範疇論很重要的一個面向,就是檢視一個數學概念的哪個部分和結構有關。→在抽象化後,會分離出許多因子,如何找到與難題有關的因子就是範疇論在處理的地方。
P.266 是什麼把事物支撐起來?哪些部分移除後不會讓整個東西塌下來?→食物可用營養素從頭組成,也可用刪去法。這就看出來從無到有的建構是極為因難,其中還發現人是因適應環境而演化出來,根本不是依從最優決所決定身體結構。所以從零開始的建構必然會在邏輯最優決抵觸。那反過來從刪去法呢!!刪去吃了會腹痛的食物,一下就變得容易且明確。這事勾起回憶,小時候相信萬仗高樓平地起,底子打好再向上,結果計畫永遠趕不上變化。現在很習慣用試誤法,效果顯著,反正又不是要創造偉業,只需要可行就好,而且最特殊的是,還不能太專注某一項專業中。投機太認真鑽研反而適得其反,這真是個奇異的宇宙觀。例如每天都一直在研究新操作方法,一直優化策略,結果是失敗。說好的一分努力一分收獲,卻在投機世界無法運行順利,詭異呀!!反而是七天曬網一天補魚才能有好的收益效果,真是逆天呀。還是多看看電影吧,看看盡各種宇宙觀下的邏輯,從中發現各行各業都存在一個獨立的宇宙架構,跟學校或世俗相差甚遠。殺人可不可以?當然可以,不然法官拿錢不辦事才有問題。嗯...台灣法官問題真的很大,拿錢不辦事。
P.288 範疇論的一個目標是要弄清楚「就某種角度來看相同」而底是什麼意思,而且在不同情況中不同的意涵有其功用。在範鑄論中,我們會發現有時候我們說某些事物「相等」時,其實並非百分之百的實話。→媒體上公佈的統計數據皆為真,但只是沒說實話。因為全都在用「條件下」的統計報告,而該死的!!不會跟你說什麼條件下。例:台北市圖書館飲水機合格率,100%。但我喝了身體還是很難受。問題在隱藏條件:生菌數合乎喝不死人標準,而且水中其他物質皆未檢測。
P.289 有時候在範疇論中會反過來做:我們不會問特定情境中哪些「相同」,而是先去了解我們想要把哪些看成相同,然後再看哪些情境適用
P.294 這個過程是否可逆?
P.298 組合順序不同,結果也會不同

P.312 了解事物間彼此的關係後,就可以開始尋找不同類型的極端狀況:最大/最小,或最強/最弱?
P.314 一個範疇中的「始物件」和「終物件」,則是另一種比較不明顯但數學中很重要的極端。將所有範鑄中所有的關係都用箭題表示後,如果從某一個物件剛好畫出一個箭題並指向所有其他物件,這個物件就是始對象。所有其他物件剛好都有一個箭頭指向的物件就是終對象。

原始意思圖

簡化概念圖

P.318 一點也不牽強→常常在找不同物件中泛性質時,大腦很易容幫你製造合理的連結。這時就要警覺這種感覺,因為大多只是巧合。像最近看時間,常常出現44分的現象,這是警訊?危機?或好事將近?答案都太勉強,倒是台指是45分開始、45分切換、45分結束,生理時鐘對於45分將近時已產反應了。巧合(機率顯著)難以推論就在於,很難證明。但當你找到合理的推論,你會感到:對!!豁然開朗的感覺,不再牽強。(這例子不好,似乎刻意營造了誤導情境。)
P.322 獨立的存在(free-living)→最簡約狀態,只保留最低限度的基本特徵元素

心得感想:
本書給我一個靈感,系統的建構是由法則來制定,而隨著操作的經驗累積,會增加更多的法則來控制系統的損益風險,最後變成一個極為窒礙難行的系統。這是所有系統開發後期的大問題。紀律最後成為巨牢,禁止一切行為。那這就出現了一個死結,所以要用更高一階的法則來處理,這麼多規則都源自於期望值,所以在絕對的紀律操作的進步是無規則,只有邏輯(期望值)。如果這條路正確,那我的操作可由紀律操作進一步跨進成邏輯操作,沒有死規則只有一個邏輯結構。結構很明確,但沒有細節。在結構之間存在許多空間,而此空間就是自由裁量的發揮。死線還是絕對的死線,但在死線之上地帶就成為自由發揮的空間。這想在這裡就發現一個叉路,紀律操作/邏輯操作的分叉點,前者比較容易,後者具有極大的潛力但相對而言又更加困難且未知。而我....天生喜歡選擇未知道路前進。
定義、公設等設定是邏輯的起始點。沒有基礎定義,邏輯無法推理,而定義也是困難之處。像黑洞沒人進去過,誰知道裡面的邏輯結構什麼。
情境:某狀態、某境境、某條件,在不同時空物質下的差異,這是對事物抽像後再還原的技巧。像濃縮果汁,只留下味道顏色。其他果皮、果肉、營養全部去除,只加入水,成為果汁飲料(情境)。
邏輯是很強大的能力,但也是最具毀滅的能力。因為邏輯是思考的判斷方式,根源於定義、公設…等基本法則。如果基本法則是錯誤的呢??所以上策是一再質疑自己的基本假設。用各種面向去檢視。下圖一個是納粹旗一個是反核旗,都具有一個共通特徵:擁有一個偉大的夢想。但最後都變成一種災難。群眾不具有邏輯能力,但具有放大效果,讓好更好、讓壞更壞。最後勢不可擋。現在群眾才發現用愛發不了電。

事後看自己的筆記一團混亂才發現,作者的邏輯能力比我高多了,能做到深入淺出的講解。當時讀的時候都覺得很簡單,但換成自己詮譯時才發現無法表達的那麼自然。

[2017年11月13日 壞習慣]
政治不是我該浪費精神的地方,群眾與政府要怎搞也不關我的事。電費漲受重傷的也不會是我,我犯蠢了。尤其這議題早想過多次,根本沒有再思索的價值。提醒自己別再浪費時間於這類的雜事上



書籍資料:
書名:如何烤一個數學Pi:14道甜點食譜,引導你學會數學思考
原名:Cakes, Custard and Category Theory: Easy recipes for understanding complex maths
作者:鄭樂雋
原文作者:Eugenia Cheng
譯者:張芷盈
出版社:漫遊者文化
出版日期:2017/10/05
閱讀價值:中

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